পাটিগণিতের শর্টকাটের বিভিন্ন সুত্র।

গণিত শর্ট টেকনিক-
=========================
★পাইপ_এবং_চৌবাচ্চাঃ
নিয়ম-০১:
সম্পূর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি নল দিয়ে ২০ মিনিটে সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়।২য় একটি নল দিয়ে ৩০ মিনিটে সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। নল দুটি একই সাথে খুলে দিলে কত সময়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হবে?
#1_Technique::: চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে
= XY / (X+Y)
= (20x30) / (20+30)
= 600/50
=12 min.
নিয়ম-০২:
একটি চৌবাচ্চার প্রথম নল দিয়ে পূর্ণ হতে সময় লাগে ২০ মিনিট। দ্বিতীয় নল দিয়ে খালি হতে ৩০ মিনিট সময় লাগে। নল দুইটি একই সাথে খুলে দিলে কত সময়ে চৌবাচ্চাটি খালি হবে?
#2_technique::: চৌবাচ্চাটি খালি হতে সময় লাগবে
= X(-Y)/(X-Y)
= (20x-30)/(20-30)
= -600/-10
= 60 min.
নিয়ম-০৩:
একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১২ এবং ১৫ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে।
তিনটি নল একই সাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
#3_technique:::: চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে
= XYZ/(XY+YZ+ZX)
= [(10X12x15)] / [(10X12)+(12X15)+(15X10)]
= 1800/450
= 4 min.

★নৌকা_স্রোতঃ
নিয়ম-১: নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ১০ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ২ কি.মি.।
স্রোতের বেগ কত?
#4_technique:::স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ – স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /২
= (১০ – ২)/২
= ৪ কি.মি.
নিয়ম-২: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ৪ কি.মি. যায়। নৌকার বেগ কত?
#5_technique::::নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/২
= (৮ + ৪)/২
= ৬ কি.মি.
নিয়ম-৩: নৌকা 3 স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. 3 ৫ কি.মি.। নদীপথে ৪৫ কি.মি. পথ একবার যেয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?
উত্তর: স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (১০+৫) = ১৫ কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১০-৫) = ৫ কি.মি.
#6_technique::: মোট সময় = [(মোট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) + (মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)]
= [(৪৫/১৫) + (৪৫/৫)]
= ৩ + ৯
= ১২ ঘন্টা
নিয়ম-৪: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘন্টায় ৫ কি.মি. যায় এবং ৪ ঘন্টায় প্রথম
অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় বেগ কত?
উত্তর:
#7_technique:::গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব/মোট সময়)
= (৫+৫)/(২+৪)
= ৫/৩ মাইল
নিয়ম-৫: এক ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে নৌকা বেয়ে ঘন্টায় ১০ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেলএবং ঘন্টায় ৬ কি.মি. বেগে স্রোতের প্রতিকূলে চলে যাত্রারম্ভের স্থানে ফিরে এল।
যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
#8_technique:::গড় গতিবেগ
= 2mn/(m+n)
= (২ x ১০ x ৬)/(১০+৬)
= ১৫/২ কি.মি

★কাজ এবং শ্রমিকঃ
নিয়ম-১: ৩ জন পুরুষ বা ৪ জন মহিলা একটি কাজ ২৩ দিনে করতে পারে। কত দিনে ঐ কাজটি শেষ করতে ২ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলার প্রয়োজন হবে?
#9_technique::::T = (M1 x W1 x T1)/(M1W2 + M2W1)
= (৩x৪x২৩)/(৩x৫ + ৪x২)
= ১২ দিন
নিয়ম-২: যদি রিয়াদ একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং রেজা ঐ কাজ ১৫ দিনে করে তবে রিয়াদ
এবং রেজা একসাথে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
#10_yechnique:::: G = FS/(F+S)
= (১০ x ১৫)/ (১০+১৫)
= ৬ দিনে
নিয়ম-৩: যদি ক একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং ক 3 খ একসাথে কাজটি ৬ দিনে করে তবে
খ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
#11_technique::::G = FS/(F-S)
= (১০ x ৬)/ (১০-৬)
= ১৫ দিনে
নিয়ম-৪: ক, খ এবং গ একটি কাজ যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ দিনে করতে পারে।
তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
#12_technique:::::::T = abc/ (ab + bc + ca)
= (১২ x ১৫ x ২০)/ (১২x১৫ +
১৫x২০ +২০x১২)
= ৫ দিনে
নিয়ম-৫: ৯ জন লোক যদি একটি কাজ ৩ দিনে করে তবে কতজন লোক কাজটি ৯ দিনে করবে?
#Special_technique:::: M1D1 = M2D2
বা, ৯ x ৩ =M2 x ৯
সুতরাং, M2 = ৩ দিনে

★প্রশ্নধরণ::: বর্গের অন্তর বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে, বড় সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
.টেকনিকঃবড় সংখ্যা=(বর্গের অন্তর+1)÷2
.উদা:
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি 47 হয় তবে বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধানঃ বড় সংখ্যা=(47+1)/2=24
====================
.
প্রশ্নের ধরণ: দুইটি বর্গের অন্তর বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে, ছোট সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
টেকনিকঃছোট সংখ্যাটি=(বর্গের অন্তর -1)÷2
উদা:
*** প্রশ্নঃ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 33। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত হবে?
** সমাধানঃ ছোট সংখ্যাটি =(33-1)÷2=16(উঃ)
====================
.
প্রশ্নে যত বড....তত ছোট/ তত ছোট....যত বড উল্লেখ থাকলে সংখ্যা নির্নয়ের ক্ষেত্রে
টেকনিকঃসংখ্যাটি =(প্রদত্ত সংখ্যা দুটির যোগফল)÷2
.উদা:
প্রশ্নঃএকটি সংখ্যা 742 থেকে যত বড় 830 থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধানঃ সংখ্যাটি=(742+8 30)÷2=786 উঃ

★❑ অধ্যায় ভাজক সংখ্যা
❑ শর্ট-টেকনিকে ভাজক সংখ্যা নির্ণয়ঃ
……………………………………......
#______প্রশ্নঃ পরিক্ষায় আসতে পারে 72 এর ভাজক সংখ্যা কতটি?
উত্তরঃ ১২টি

_______(প্রশ্নটি ২৫ তম বিসিএস সহ পিএসসির বিভিন্ন আরো ৯টি পরিক্ষায় আসছে)
.
#টেকনিকঃ
৭২ কে লসাগু করলে-
৭২÷২=৩৬
৩৬÷২=১৮
১৮÷২=৯
৯÷৩=৩
সুতরাং-(২×২×২) × (৩×৩)
.
____উপরে, লক্ষ করুন-
২হলো ৩বার এবং ৩ হলো ২বার
সুতরাং
৭২=২³ × ৩²
=(৩+১) × (২+১)=১২টি
____অর্থাৎ যত পাওয়ার [২³ এখানে পাওয়ার (³) ] আপনি শুধু তার সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত পাওয়ার গুলো গুন করে দিলেই, উত্তর পেয়ে যাবেন।
.
#ব্যাখ্যাঃ ৭২ সংখ্যাটির ভাজক গুলো হলো-
১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২।

--------------------------

★গণিতের শর্টকার্ট গসাগুওলসাগু-
★দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের গ,সা,গু ৬ হলে সংখ্যা দুটির ল,সা,গু কত?
যেহেতু, সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৫:৭ এবং গ, সা,গু ৬
ল,সা,গু= অনুপাতদ্বয়ের গুনফল×গ,সা,গু=৫×৭×৬=২১০
সহজ নিয়ম, ল সা গু = অনুপাতদ্বয়ের গুনফল×গ, সা, গু

★দুই সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ এবং তাদের ল.সা.গু ১২০ হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

ল,সা,গু= অনুপাতদ্বয়ের গুনফল×গ,সা,গু
গ,সা,গু=ল,সা,গু/অনুপাতদ্বয়ের গুনফল
=১২০/৩০
=৪

★ল সা গু = গুণফল /গ সা গু
গ সা গু = গুণফল /ল সাগু

★ দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে অপর সংখ্যাটি কত....??
অপর সংখ্যাটি= ল সা গু *গ সা গু /30

★দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ এবং তাদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে সংখ্যা দুটি কত?
Answer: 60
Explanation:
অনুপাত = ৫ঃ৬ ও লসাগু= ৩৬০ হলে , প্রথম সংখ্যা= (লসাগু/প্রথম অনুপাত)=(৩৬০/৫)=৭২ দ্বিতীয় সংখ্যা= (লসাগু/দ্বিতীয় অনুপাত)=(৩৬০/৬)=৬০

★টেকনিক-১:উভয় বিষয়ে ফেলের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে পাশের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-শর্ট‬ টেকনিকঃ
পাশের হার=১০০-( ১ম বিষয়ে ফেলের হার + ২য় বিষয়ে ফেলের হার- উভয় বিষয়ে ফেলের হার )

‪উদাহরন-১
কোন‬ পরিক্ষায় ২০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো উভয় বিষয়ে ১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো? (প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ (ইছামতি)পরীক্ষা-২০১০)
উত্তরঃপাশের‬ হার(?)=১০০-[১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০)+২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয় বিষয়ে ফেলের হার(১৩)] =১০০-(২০+৩০-১৩)
=৬৩%(উঃ)

★টেকনিক ২:উভয় বিষয়ে পাশের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে ফেলের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-‪#‎শর্ট_টেকনিকঃ
ফেলের‬হার=১০০-( ১ম বিষয়ে পাশের হার + ২য় বিষয়ে পাশের হার- উভয় বিষয়ে পাশের হার )
(১ম টির উল্টো নিয়ম)

উদাহরন-১
কোন পরিক্ষায় ৮০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৭০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো। উভয় বিষয়ে পাশ করলো ৬০% পরিক্ষার্থী।উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো? (২২তম বিসিএস, উপজেলা শিক্ষা অফিসার-২০০৬,অর্থমন্ত্রনালয় ২০১১, ৬ষ্ঠ সহকারী জর্জ নিঃ ২০১১)
উত্তরঃ ফেলের হার(?)=১০০-[১ম বিষয়ে পাশের হার(৮০)+২য় বিষয়ে পাশের হার(৭০)- উভয় বিষয়ে পাশের হার(৬০)]

উদাহরন -২‬
কোন পরিক্ষায় ২০০জনের মধ্যে ৭০% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৬০% ছাত্র অংকে পাশ করে করে। এবং ৪০% উভয় বিষয়ে পাশ করে। তবে উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো? (সঞ্চয় অধিদপ্ত্রর,সঃ পরিচালক, পরীক্ষা-২০০৬)
উত্তরঃ
=১০০-(৭০+৬০-৪০)
=১০%
সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল=২০০ এর ১০%=২০%(উঃ)

★টেকনিক ৩: উভয় বিষয়ে ফেল এবং পাশের উল্লেখ থাকলে মোট পরিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণ্যয়ের ক্ষেত্রে-শর্ট টেকনিকঃ
মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র ÷ (১ম বিষয়ে ফেল+২য় বিষয়ে ফেল+উভয় বিষয়ে ফেল) x ১০০

উদাহরন
কোন‬ স্কুলে ৭০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ৮০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো।কিন্তু ১০% পরিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করলো।উভয় বিষয়ে
শতকরা কত জন ফেল করলো। যদি উভয় বিষয়ে ৩৬০ জন পরিক্ষার্থী পাশ করে তবে ঐ স্কুলে কত জন পরিক্ষার্থী পরিক্ষা দিয়েছে? (২৩তম বিসিএস)
উত্তরঃ মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র(৩৬০)÷ {১ম বিষয়ে ফেল(১০০-৭০=৩০)+২য় বিষয়ে ফেল (১০০-৮০=২০)+উভয় বিষয়ে ফেল১০} x ১০০
=৩৬০ ÷ ৩০+২০+১০ x ১০০
=৬০০(উঃ)

★১,৫,৯,.....,৮১ ধারাটির সংখ্যাগুলোর গড় কত?
সমাধানঃ এটি একটি সমান্তর ধারা।
*নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
                      =(৮১+১)/২
                       =৮২/২
                       =৪১
য়ে
শতকরা কত জন ফেল করলো। যদি উভয় বিষয়ে ৩৬০ জন পরিক্ষার্থী পাশ করে তবে ঐ স্কুলে কত জন পরিক্ষার্থী পরিক্ষা দিয়েছে? (২৩তম বিসিএস)
উত্তরঃ মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র(৩৬০)÷ {১ম বিষয়ে ফেল(১০০-৭০=৩০)+২য় বিষয়ে ফেল (১০০-৮০=২০)+উভয় বিষয়ে ফেল১০} x ১০০
=৩৬০ ÷ ৩০+২০+১০ x ১০০
=৬০০(উঃ)

★১,৫,৯,.....,৮১ ধারাটির সংখ্যাগুলোর গড় কত?
সমাধানঃ এটি একটি সমান্তর ধারা।
*নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
                      =(৮১+১)/২
                       =৮২/২
                       =৪১

★1+5+9+....+81=?
পদসংখা=(শেষপদ- প্রথমপদ)÷ সাধারন অন্তর+১
(৮১-১)÷৪+১=৮০÷৪+১=২১
যোগফল= {(প্রথমপদ+শেষপদ)÷২}*পদসংখ্যা।
{(১+৮১)÷২}*২১={৮২÷২}*২১
=৪১*২১
=৮৬১

★১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের
যোগফল।
ans= (১০০*১০১)/২
       =১০১০০/২
       =৫০৫০
১-১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(২,৩,৫,৭)=৪টি।
১১-২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(১১,১৩,১৭,১৯)=৪টি।
২১-৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(২৩,২৯)=২টি।
৩১-৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(৩১,৩৭)=২টি।
৪১-৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(৪১,৪৩,৪৭)=৩টি।
৫১-৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(৫৩,৫৯)=২টি।
৬১-৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(৬১,৬৭)=২টি।
৭১-৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(৭১,৭৩,৭৯)=৩টি।
৮১-৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(৮৩,৮৯)=২টি।
৯১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=(৯৭)=১টি।
★★মনে রাখার সুবিধার্থে আপনার প্রিয়জনের ফোন নাম্বারের মতো ৪৪২২৩২২৩২১ মুখস্ত করে নিন★★
১-১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা=২৫ টি।
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার যোগফল=১০৬০
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার গড়=৪২.৪

★আয়তাকার ক্ষেত্রফলের পরিসীমা বের করার নিয়ম-
পরিসীমা = (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)  ২

★মাত্র ৫টি টেকনিকে
ত্রিকোনোমিতির সব অংক করার
কৌশল।
# সুত্র : ১
শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে উচ্চতা
নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনেরাখুন
–
উচ্চতা= [পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3]
.
# উদাহরন : একটি মিনাররের পাদদেশ
হতে 20 মিটার দুরের ১টি স্থান হতে
মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30°
হলে মিনারের উচ্চতা কত?
.
# সমাধানঃউচ্চতা =[পাদদেশ হতে
দুরত্ত্ব÷√3]
=20/√3(উঃ)
==================
# সুত্র২ :-
শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোন 60 হলে উচ্চতা
নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনেরাখুন-
উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব × √3]
.
# উদাহরনঃএকটি তাল গাছের
পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দুরবর্তী স্থান
থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোন
60° হলে গাছটির উচ্চতা নির্ন্যয় করুন? .
# অথবাঃ
সুর্যের উন্নতি কোন 60° হলে একটি
গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়।
গাছটির উচ্চতা কত?
.
# সমাধানঃ- উচ্চতা=[পাদদেশ হতে
দুরত্ত্ব ×
√3]
=10√3=17.13(উঃ)
.
(মুখস্ত রাখুন √3=1.73205)
(শুধু মনে রাখুন 30° হলে ভাগ এবং 60°
হলে গুন হবে)
==================
# সুত্র৩ :-
সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির
সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভুমি হতে
ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ণয়ের
ক্ষেত্রে-কত উচুতে ভেংগেছিলো =
(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
.
# উদাহরনঃ-
একটি 48 মিটার লম্বা খুটি ভেংগে
গিয়ে সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে
ভুমির সাথে 30 কোণ উৎপন্ন করে।
খুটিটি কত উচুতেবভেঙ্গেছিল ো ?
.
#সমাধানঃ-
কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো = (খুটির মোট
দৈর্ঘ্য ÷ 3)
=48÷3=16(উঃ)
=================
#সুত্র 4:
সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির
সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভূমি হতে
ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ন্যেয়ের
ক্ষেত্রে-
# শর্ট_টেকনিক :
কতউচুতে ভেংগেছিলো=
(খুটির মোট
দৈর্ঘ্য ÷ 3)
.
#উদাহরনঃ-
18ফুট উচু একটি খুটি এমন ভাবে ভেংগে
গেলো যে ভাংগা অংশটি বিচ্ছিন্ন
না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোনে স্পর্শ
করলো। খুটিটি মাটি থেকে কতফুট
উচুতে ভেংগে গিয়েছলো?
#সমাধানঃ-
কত উচুতে ভেংগেছিলো=
(খুটির মোট
দৈর্ঘ্য ÷ 3)
=(18÷3) =6ফুট (উঃ)
==================
# সুত্রঃ5
যখন মই দেয়ালের সাথে
হেলান দিয়ে
লাগানো থাকে তখন-
* শর্ট_টেকনিকঃ(মইয়ের উচ্চতা)² =
(দেয়ালের উচ্চতা)² +
(দেয়ালের দুরত্ব)²
উদাহরনঃ-
একটি 50মিটার লম্বা মই
খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান
দিয়ে রাখা হয়েছে।মইয়ের
একপ্রান্তে মাটি হতে 40মিটার উপরে
দেয়ালকে স্পর্শ করে মইয়ের অপর প্রান্ত
হতে দেয়ালের লম্ব দুরত্ব কত মিটার? .
#সমাধানঃ-
(মইয়ের উচ্চতা)² =(দেয়ালের উচ্চতা)² +
(দেয়ালের দুরত্ব)²
বা, (দেয়ালের দুরত্ব)² =(মইয়ের উচ্চতা)²
–
(দেয়ালের উচ্চতা)²
বা, দেয়ালের দুরত্ব= √(50)² – √ (40)²
=10মিটার (উঃ)
.
[লক্ষ করুনঃ উপরের এই ৫নং সুত্রের
মাধ্যেমেই ‘মইয়ের উচ্চতা’
'দেয়ালেরউচ্চতা’ ও ‘দেয়ালের দুরত্ব’]


#Learn_Mathematics
গণিত শিক্ষা (বয়স ভিত্তিক):
.
1) পিতা পুত্রের চেয়ে ৩২ বছরের বড়। ৭ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ২ গুণ অপেক্ষা ৫ বছর বেশি হবে। ৩ বছর পর পিতার বয়স কত হবে?
.
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর।
৭ বছর পর পুত্রের বয়স= (ক+৭) বছর।
৭ বছর পর পিতার বয়স= (ক+৩২)+৭ বছর= (ক+৩২+৭) বছর= (ক+৩৯) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৩৯= ২(ক+৭)+৫
বা, ক+৩৯= ২ক+১৪+৫
বা, ক-২ক= ১৯-৩৯
বা, -ক= -২০
বা, ক= ২০
ক = ২০
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর=(২০+৩২) বছর= ৫২ বছর।
৩ বছর পর পিতার বয়স=(৫২+৩) বছর= ৫৫ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫৫ বছর।
2) দুই বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ। দুই বছর বাদে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে বাবা ও তার পুত্রে বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর।
প্রশ্নমতে,
১৪ (ক-২) = ক + ২৬ -২
বা, ১৪ক – ২৮ = ক + ২৪
বা, ১৪ক – ক = ২৪ + ২৮
বা, ১৩ক = ৫২
বা, ক = ৫২÷১৩
বা, ক = ৪
ক = ৪
পুত্রের বয়স= ক বছর= ৪ বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর= (৪ + ২৬) বছর= ৩০ বছর।
নির্ণেয় বাবার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত= ৩০ : ৪ = ১৫ : ২
উত্তর: বাবার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৫ : ২
3) পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর; যখন পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে ১০২ বছর। পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= খ বছর।
যখন পুত্রের বয়স ক হবে তখন পিতার বয়স হবে= {ক+(ক-খ)} বছর।
১ম শর্তমতে,
ক+খ=৫০……………………(১)
২য় শর্তমতে,
ক + {ক+ (ক-খ)} = ১০২
বা, ক+ক+ক-খ= ১০২
বা, ৩ক-খ= ১০২
৩ক-খ= ১০২………………….(২)
(১) নং ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই-
ক + খ = ৫০
৩ক –খ = ১০২
_______________________________
৪ক = ১৫২
বা, ক= ১৫২÷৪
ক= ৩৮
(১) নং সমীকরণে ক এর মান বসিয়ে পাই-
ক+খ= ৫০
বা, ৩৮+খ= ৫০
বা, খ= ৫০-৩৮
বা, খ= ১২
খ = ১২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৩৮ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= খ বছর= ১২ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৩৮ বছর ও পুত্রের বয়স ১২ বছর।
4) পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৭×৩) বছর= ১১১ বছর।
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৫×২) বছর= ৭০ বছর।
নির্ণেয় মাতার বয়স= (১১১-৭০) বছর= ৪১ বছর।
উত্তর: মাতার বয়স ৪১ বছর।
5) পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২০ বছর হলে পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২৭×৩) বছর= ৮১ বছর।
দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২০×২) বছর= ৪০ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৮১-৪০) বছর= ৪১ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪১ বছর।
6) পিতা ও দুই পুত্রের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩০×৩) বছর= ৯০ বছর।
দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (২০×২) বছর= ৪০ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৯০-৪০) বছর= ৫০ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫০ বছর।
7) পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৬×৩) বছর= ১০৮ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৪৫×২) বছর= ৯০ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (১০৮-৯০) বছর= ১৮ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ১৮ বছর।
8) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা ও মাতার গড় বয়স কত?
সমাধানঃ
মাতার বয়স যেহেতু পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি।
সুতারাং পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৬০+২০) বছর= ৮০ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের গড়= = = ৪০ বছর।
নির্নেয় পিতা ও মাতার গড় বয়স= ৪০ বছর।
উত্তর: পিতা ও মাতার গড় বয়স ৪০ বছর।
9) পাঁচ সন্তানের বয়সের গড় ৭ বছর এবং পিতাসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (৭×৫) বছর= ৩৫ বছর।
পিতাসহ পাঁচ সন্তান বা ৬ জনের বয়সের সমষ্টি= (১৩×৬) বছর= ৭৮ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৭৮-৩৫)=৪৩ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৩ বছর।
10) ৫ জন বালকের বয়সের গড় ১০ বছর। ঐ গলে আরও দুজন বালক যোগ দিলে তাদের সকলের বয়সের গড় হয় ১২ বছর। যোগদানকারী বালক দুটি যদি সমবয়সী হয় তবে তাদের প্রত্যেকের বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১০×৫) বছর= ৫০ বছর।
(৫+২) বা ৭ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১২×৭) বছর= ৮৪ বছর।
যোগদানকারী বালকের বয়সের সমষ্টি= (৮৪-৫০) বছর= ৩৪ বছর।
যোগদানকারী প্রত্যেক বালকের বয়স= বছর= ১৭ বছর।
উত্তর: প্রত্যেক বালকের বয়স ১৭ বছর।
11) পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স একত্রে ৮০ বছর। ৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৫ গুণ ছিল। তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত কত?
সমাধানঃ
৪ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর।
৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স= ৫ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক+৪)+(৫ক+৪)=৮০
বা, ক+৪+৫ক+৪=৮০
বা, ৬ক+৮=৮০
বা, ৬ক= ৮০-৮
বা, ৬ক= ৭২
বা, ক= ৭২÷৬
বা, ক= ১২
ক= ১২
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর=(৫×১২+৪)বছর=(৬০+৪) বছর= ৬৪ বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর= (১২+৪) বছর= ১৬ বছর।
নির্ণেয় তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত= ৬৪ : ১৬
উত্তর: তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৬৪ : ১৬
12) পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পুত্রের বয়স ১৬ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
প্রশ্নমতে,
ক : ১৬ = ১১ : ৪
বা, ক × ৪ = ১৬ × ১১
বা, ৪ক = ১৭৬
বা, ক = ১৭৬÷৪
বা, ক = ৪৪
ক = ৪৪
নির্ণেয় পিতার বয়স= ৪৪ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৪ বছর।
13) পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পিতার বয়স ৪৪ বছর হলে, পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ১১ক বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর।
প্রশ্নমতে,
১১ক = ৪৪
বা, ক = ৪৪÷১১
বা, ক = ৪
ক = ৪
পিতার বয়স= ১১ক বছর= (১১×৪) বছর= ৪৪ বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর= (৪×৪) বছর= ১৬ বছর।
নির্ণেয় পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৪৪+১৬) বছর= ৬০ বছর।
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর।
14) পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭: ২। পিতার বর্তমান বয়স ৪২ বছর, ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স কত ছিল?
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৪২×২
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৮৪
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স = ৮৪÷৭
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২
পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২ বছর।
নির্ণেয় ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১২–১০) বছর= ২ বছর।
উত্তর: ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল ২ বছর।
15) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬৩ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ৭: ২। ৯ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিল?
সমাধানঃ
অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি= (৭+২) = ৯
পিতার বয়স= (৬৩ এর ৭/৯ ) = ৪৯ বছর।
পুত্রের বয়স= (৬৩ এর ২/৯) = ১৪ বছর।
৯ বছর পূর্বে পিতার বয়স= (৪৯ -৯) বছর= ৪০ বছর।
৯ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১৪ -৯) বছর= ৫ বছর।
৯ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত= ৪০ : ৫= ৮ : ১
উত্তর: পিতার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৮ : ১
16) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭৪ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিল ৭: ২। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল= (ক-১০) বছর।
১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল= (৭৪-ক-১০) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক-১০) : (৭৪-ক-১০) = ৭ : ২
বা, ২(ক-১০) = ৭ ( ৬৪-ক)
বা, ২ক-২০ = ৪৪৮-৭ক
বা, ২ক+৭ক = ৪৪৮+২০
বা, ৯ক = ৪৬৮
বা, ক = ৪৬৮÷৯
বা, ক = ৫২
ক = ৫২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৫২ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর= (৭৪-৫২) বছর= ২২ বছর।
১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত= (৫২+১০) : (২২+১০)= ৬২ : ৩২ = ৩১ : ১৬
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩১ : ১৬



.